Du point de vue mathématique, l’idée nouvelle d’Einstein était banale. Du point de vue de notre conception de l’espace physique par contre, c’était une mutation profonde, et un « dépaysement » soudain. La première mutation du genre, depuis le modèle mathématique de l’espace physique dégagé par Euclide il y avait 2400 ans, et repris tel quel pour les besoins de la mécanique par tous les physiciens et astronomes depuis l’antiquité (y inclus Newton), pour décrire les phénomènes mécaniques terrestres et stellaires.

Cette idée initiale d’Einstein s’est par la suite beaucoup approfondie, s’incarnant en un modèle mathématique plus subtil, plus riche et plus souple, en s’aidant du riche arsenal des notions mathématiques déjà existantes. Avec la « théorie de la relativité généralisée », cette idée s’élargit en une vaste vision du monde physique, embrassant dans un même regard le monde subatomique de l’infiniment petit, le système solaire, la voie lactée et les galaxies lointaines, et le cheminement des ondes électromagnétiques dans un espace-temps courbé en chaque point par la matière qui s’y trouve. C’est là la deuxième et la dernière fois dans l’histoire
de la cosmologie et de la physique (à la suite de la première grande synthèse de Newton il y a trois siècles), qu’est apparue une vaste vision unificatrice, dans le langage d’un modèle mathématique, de l’ensemble des phénomènes physiques dans l’Univers.

[...] La comparaison entre ma contribution à la mathématique de mon temps, et celle d’Einstein à la physique, s’est imposée à moi pour deux raisons : l’une et l’autre œuvre s’accomplit à la faveur d’une mutation de la conception que nous avons de « l’espace » (au sens mathématique dans un cas, au sens physique dans l’autre) ; et l’une et l’autre prend la forme d’une vision unificatrice, embrassant une vaste multitude de phénomènes et de situations qui jusque là apparaissaient comme séparés les uns des autres. Je vois là une parenté d’esprit évidente entre son œuvre et la mienne.

Cette parenté ne me semble nullement contredite par une différence de « substance » évidente. Comme je l’ai déjà laissé entendre tantôt, la mutation einsteinienne concerne la notion d’espace physique, alors qu’ Einstein puise dans l’arsenal des notions mathématiques déjà connues, sans avoir jamais besoin de l’élargir, voire de le bouleverser. Sa contribution a consisté à dégager, parmi les structures mathématiques connues de son temps, celles qui étaient le mieux aptes à servir de « modèles » au monde des phénomènes physiques, en lieu et place du modèle moribond légué par ses devanciers. En ce sens, son œuvre a bien été celle d’un physicien, et au delà, celle d’un « philosophe de la nature », au sens où l’entendaient Newton et ses contemporains. Cette dimension « philosophique » est absente de mon œuvre mathématique, où je n’ai jamais été amené à me poser de question sur les relations éventuelles entre les constructions conceptuelles « idéales », s’effectuant dans l’Univers des choses mathématiques, et les phénomènes qui ont lieu dans l’ Univers physique (voire même, les événements vécus se déroulant dans la psyché). Mon œuvre a été celle d’un mathématicien, se détournant délibérément de la question des « applications » (aux autres sciences), ou des « motivations » et des racines psychiques de mon travail. D’un mathématicien, en plus, porté par son génie très particulier à élargir sans cesse l’arsenal des notions à la base même de son art. C’est ainsi que j’ai été amené, sans même m’en apercevoir et comme en jouant, à bouleverser la notion la plus fondamentale de toutes pour le géomètre : celle d’espace (et celle de « variété »), c’est-à-dire notre conception du « lieu » même où vivent les êtres géométriques.

Récoltes et Semailles, § 2.10. Un coup d’œil chez les voisins d’en face

Alexandre Grothendieck n’a pas 40 ans, et déjà l’ampleur de son œuvre et l’étendue de son influence sur les mathématiques contemporaines sont telles qu’il n’est pas possible d’en donner autre chose qu’une idée très déformée dans un aussi bref exposé.

[...] S’il fallait chercher une parenté spirituelle à Grothendieck, c’est à Hilbert, me semble-t-il, qu’on pourrait le mieux le comparer : comme Hilbert, sa devise pourrait être : « simplifier en généralisant », en recherchant les ressorts profonds des phénomènes mathématiques ; mais, comme Hilbert aussi, lorsque cette analyse en profondeur a conduit à un point où seule l’attaque de front reste possible, il trouve presque toujours dans sa riche imagination le bélier qui enfonce l’obstacle. La comparaison est peut-être lourde à porter, mais Grothendieck est de taille à n’en pas être accablé.

Le texte complet est disponible sur le site de l’Union mathématique internationale

Je suis sensible à l’honneur que me fait l’Académie royale des sciences de Suède en décidant d’attribuer le prix Crafoord pour cette année, assorti d’une somme importante, en commun à Pierre Deligne (qui fut mon élève) et à moi-même. Cependant, je suis au regret de vous informer que je ne souhaite pas recevoir ce prix (ni d’ailleurs aucun autre), et ceci pour les raisons suivantes.

1. Mon salaire de professeur, et même ma retraite à partir du mois d’octobre prochain, est beaucoup plus que suffisant pour mes besoins matériels et pour ceux dont j’ai la charge ; donc je n’ai aucun besoin d’argent. Pour ce qui est de la distinction accordée à certains de mes travaux de fondements, je suis persuadé que la seule épreuve décisive pour la fécondité d’idées ou d’une vision nouvelle est celle du temps. La fécondité se reconnaît à la progéniture, et non par les honneurs.
2. Je constate par ailleurs que les chercheurs de haut niveau auxquels s’adresse un prix prestigieux comme le prix Crafoord sont tous d’un statut social tel qu’ils ont déjà en abondance et le bien-être matériel et le prestige scientifique, ainsi que tous les pouvoirs et prérogatives qui vont avec. Mais n’est-il pas clair que la surabondance des uns ne peut se faire qu’aux dépens du nécessaire des autres ?
3. Les travaux qui me valent la bienveillante attention de l’Académie royale datent d’il y a vingt-cinq ans, d’une époque où je faisais partie du milieu scientifique et où je partageais pour l’essentiel son esprit et ses valeurs. J’ai quitté ce milieu en 1970 et, sans renoncer pour autant à ma passion pour la recherche scientifique, je me suis éloigné intérieurement de plus en plus du milieu des scientifiques.

Or, dans les deux décennies écoulées l’éthique du métier scientifique (tout au moins parmi des mathématiciens) s’est dégradée à un degré tel que le pillage pur et simple entre confrères (et surtout aux dépens de ceux qui ne sont pas en position de pouvoir se défendre) est devenu quasiment une règle générale, et qu’il est en tout cas toléré par tous, y compris dans les cas les plus flagrants et les plus iniques.
Dans ces conditions, accepter d’entrer dans le jeu des prix et des récompenses serait aussi donner ma caution à un esprit et à une évolution, dans le monde scientifique, que je reconnais comme profondément malsains, et d’ailleurs condamnés à disparaître à brève échéance tant ils sont suicidaires spirituellement, et même intellectuellement et matériellement.

C’est cette troisième raison qui est pour moi, et de loin, la plus sérieuse. Si j’en fais état, ce n’est nullement dans le but de critiquer les intentions de l’Académie royale dans l’administration des fonds qui lui sont confiés. Je ne doute pas qu’avant la fin du siècle, des bouleversements entièrement imprévus vont transformer de fond en comble la notion même que nous avons de la « science », ses grands objectifs et l’esprit dans lequel s’accomplit le travail scientifique. Nul doute que l’Académie royale fera alors partie des institutions et des personnages qui auront un rôle utile à jouer dans un renouveau sans précédent, après une fin de civilisation également sans précédent.

Je suis désolé de la contrariété que peut représenter pour vous-même et pour l’Académie royale mon refus du prix Crafoord, alors qu’il semblerait qu’une certaine publicité ait d’ores et déjà été donnée à cette attribution, sans l’assurance au préalable de l’accord des lauréats désignés. Pourtant, je n’ai pas manqué de faire mon possible pour donner à connaître dans le milieu scientifique, et tout particulièrement parmi mes anciens amis et élèves dans le monde mathématique, mes dispositions vis-à-vis de ce milieu et de la « science officielle » d’aujourd’hui.
Il s’agit d’une longue réflexion, Récoltes et Semailles, sur ma vie de mathématicien, sur la création (et plus particulièrement la création scientifique) en général, qui est devenue en même temps, inopinément, un « tableau de mœurs » du monde mathématique entre 1950 et aujourd’hui. Un tirage provisoire (en attendant sa parution sous forme de livre), fait par les soins de mon université en deux cents exemplaires, a été distribué presque en totalité parmi mes collègues mathématiciens, et plus particulièrement parmi les géomètres algébristes (qui m’ont fait l’honneur de se souvenir de moi). Pour votre information personnelle, je me permets de vous en envoyer deux fascicules introductifs, sous une enveloppe séparée.

Alexandre Grothendieck

La plupart des mathématiciens, je l’ai dit tantôt, sont portés à se cantonner dans un cadre conceptuel, dans un « Univers » fixé une bonne fois pour toutes — celui, essentiellement, qu’ils ont trouvé « tout fait » au moment où ils ont fait leurs études. Ils sont comme les héritiers d’une grande et belle maison toute installée, avec ses salles de séjour et ses cuisines et ses ateliers, et sa batterie de cuisine et un outillage à tout venant, avec lequel il y a, ma foi, de quoi cuisiner et bricoler. Comment cette maison s’est construite progressivement, au cours des générations, et comment et pourquoi ont été conçus et façonnés tels outils (et pas d’autres. . . ), pourquoi les pièces sont agencées et aménagées de telle façon ici, et de telle autre là — voilà autant de questions que ces héritiers ne songeraient pas à se demander jamais. C’est ça « l’ Univers », le « donné » dans lequel il faut vivre, un point c’est tout ! Quelque chose qui paraît grand (et on est loin, le plus souvent, d’avoir fait le tour de toutes ses pièces), mais familier en même temps, et surtout : immuable. Quand ils s’affairent, c’est pour entretenir et embellir un patrimoine : réparer un meuble bancal, crépir une façade, affûter un outil, voire même parfois, pour les plus entreprenants, fabriquer à l’atelier, de toutes pièces, un meuble nouveau. Et il arrive, quand ils s’y mettent tout entier, que le meuble soit de toute beauté, et que la maison toute entière en paraisse embellie.

[...] Je me sens faire partie, quant à moi, de la lignée des mathématiciens dont la vocation spontanée et la joie est de construire sans cesse des maisons nouvelles. Chemin faisant, ils ne peuvent s’empêcher d’inventer aussi et de façonner au fur et à mesure tous les outils, ustensiles, meubles et instruments requis, tant pour construire la maison depuis les fondations jusqu’au faîte, que pour pourvoir en abondance les futures cuisines et les futurs ateliers, et installer la maison pour y vivre et y être à l’aise. Pourtant, une fois tout posé jusqu’au dernier chéneau et au dernier tabouret, c’est rare que l’ouvrier s’attarde longuement dans ces lieux, où chaque pierre et chaque chevron porte la trace de la main qui l’a travaillé et posé. Sa place n’est pas dans la quiétude des univers tout faits, si accueillants et si harmonieux soient-ils — qu’ils aient été agencés par ses propres mains,
ou par ceux de ses devanciers. D’autres tâches déjà l’appelant sur de nouveaux chantiers, sous la poussée impérieuse de besoins qu’il est peut-être le seul à sentir clairement, ou (plus souvent encore) en devançant des besoins qu’il est le seul a pressentir. Sa place est au grand air. Il est l’ami du vent et ne craint point d’être seul
à la tâche, pendant des mois et des années et, s’il le faut, pendant une vie entière, s’il ne vient à la rescousse une relève bienvenue. Il n’a que deux mains comme tout le monde, c’est sûr — mais deux mains qui à chaque moment devinent ce qu’elles ont à faire, qui ne répugnent ni aux plus grosses besognes, ni aux plus délicates,
et qui jamais ne se lassent de faire et de refaire connaissance de ces choses innombrables qui les appellent sans cesse à les connaître. Deux mains c’est peu, peut-être, car le Monde est infini. Jamais elles ne l’épuiseront ! Et pourtant, deux mains, c’est beaucoup. . .

Récoltes et Semailles, §2.5. Les héritiers et le bâtisseur

On peut dire que « le nombre » est apte à saisir la structure des agrégats « discontinus », ou « discrets » : les systèmes, souvent finis, formés d’ « éléments » ou « objets » pour ainsi dire isolés les uns par rapport aux autres, sans quelque principe de « passage continu » de l’un à l’autre. « La grandeur » par contre est la qualité par excellence, susceptible de « variation continue » ; par là, elle est apte à saisir les structures et phénomènes continus : les mouvements, espaces, « variétés » en tous genres, champs de force etc. Ainsi, l’arithmétique apparaît (grosso-modo)
comme la science des structures discrètes, et l’analyse, comme la science des structures continues.

Quant à la géométrie, on peut dire que depuis plus de deux mille ans qu’elle existe sous forme d’une science au sens moderne du mot, elle est « à cheval » sur ces deux types de structures, les « discrètes » et les « continues ». Pendant longtemps d’ailleurs, il n’y avait pas vraiment « divorce », entre deux géométries qui auraient été d’espèce différente, l’une discrète, l’autre continue. Plutôt, il y avait deux points de vue différents dans l’investigation des mêmes figures géométriques : l’un mettant l’accent sur les propriétés « discrètes » (et notamment, les propriétés numériques et combinatoires), l’autre sur les propriétés « continues » (telles que la position dans l’espace ambiant, ou la « grandeur » mesurée en terme de distances mutuelles de ses points, etc.).

C’est à la fin du siècle dernier qu’un divorce est apparu, avec l’apparition et le développement de ce qu’on a appelé parfois la « géométrie (algébrique) abstraite ». Grosso-modo, celle-ci a consisté à introduire, pour chaque nombre premier p, une géométrie (algébrique) « de caractéristique p », calquée sur le modèle (continu) de la géométrie (algébrique) héritée des siècles précédents, mais dans un contexte pourtant, qui apparaissait comme irréductiblement « discontinu », « discret ». Ces nouveaux objets géométriques ont pris une importance croissante depuis les débuts du siècle, et ceci, tout particulièrement, en vue de leurs relations étroites avec l’arithmétique, la science par excellence de la structure discrète. Il semblerait que ce soit une des idées directrices dans l’œuvre d’André Weil, peut-être même la principale idée-force (restée plus ou moins tacite dans son œuvre écrite, comme il se doit), que « la » géométrie (algébrique), et tout particulièrement les géométries « discrètes » associées aux différents nombres premiers, devaient fournir la clef pour un renouvellement de vaste envergure de l’arithmétique. C’est dans cet esprit qu’il a dégagé, en 1949, les célèbres « conjectures de Weil ». Conjectures absolument époustouflantes, à vrai dire, qui faisaient entrevoir, pour ces nouvelles « variétés »
(ou « espaces ») de nature discrète, la possibilité de certains types de constructions et d’arguments qui jusque là ne semblaient pensables que dans le cadre des seuls « espaces » considérés comme dignes de ce nom par les analystes — savoir, les espaces dits « topologiques » (où la notion de variation continue a cours).

On peut considérer que la géométrie nouvelle est avant toute autre chose, une synthèse entre ces deux mondes, jusque là mitoyens et étroitement solidaires, mais pourtant séparés : le monde « arithmétique », dans lequel vivent les (soi-disants) « espaces » sans principe de continuité, et le monde de la grandeur continue,
où vivent les « espaces » au sens propre du terme, accessibles aux moyens de l’analyste et (pour cette raison même) acceptés par lui comme dignes de gîter dans la cité mathématique. Dans la vision nouvelle, ces deux mondes jadis séparés, n’en forment plus qu’un seul.

Récoltes et Semailles, §2.10. La géométrie nouvelle — ou les épousailles du nombre et de la grandeur

Dans ma vision des motifs, ceux-ci constituent une sorte de « cordon » très caché et très délicat, reliant les propriétés algébro-géométriques d’une variété algébrique, à des propriétés de nature « arithmétique » incarnées par son motif. Ce dernier peut être considéré comme un objet de nature « géométrique » dans son esprit même, mais où les propriétés « arithmétiques » subordonnées à la géométrie se trouvent, pour ainsi dire, « mises à nu ». Ainsi, le motif m’apparaît comme le plus profond « invariant de la forme » qu’on a su associer jusqu’à présent à une variété algébrique, mis à part son « groupe fondamental motivique ». L’un et l’autre invariant représentent pour moi comme les « ombres » d’un « type d’homotopie motivique » qui resterait à décrire. C’est ce dernier objet qui me semble devoir être l’incarnation la plus parfaite de l’élusive intuition de « forme arithmétique » (ou « motivique ») d’une variété algébrique quelconque.

C’est là [...] la quintessence d’une idée d’une simplicité enfantine encore, délicate et audacieuse à la fois. J’ai développé cette idée, en marge des tâches de fondements que je considérais plus urgentes, sous le nom de « théorie des motifs » ou de « philosophie » (ou « yoga ») des motifs", tout au long des années 1963-69. C’est une théorie d’une richesse structurale fascinante, dont une grande partie est restée encore conjecturale.

Récoltes et Semailles, § 2.16. Les motifs — ou le cœur dans le cœur

Si j’ai excellé dans l’art du mathématicien, c’est moins par l’habileté et la persévérance à résoudre des problèmes légués par mes devanciers, que par cette propension naturelle en moi qui me pousse à voir des questions, visiblement cruciales, que personne n’avait vues, ou à dégager les « bonnes notions » qui manquaient (sans que personne souvent ne s’en soit rendu compte, avant que la notion nouvelle ne soit apparue), ainsi que les « bons énoncés » auxquels personne n’avait songé.

[...] Mais plus encore que vers la découverte de questions, de notions et d’énoncés nouveaux, c’est vers celle de points de vue féconds, me conduisant constamment à introduire, et à développer peu ou prou, des thèmes entièrement nouveaux, que me porte mon génie particulier. C’est là, il me semble, ce que j’ai apporté de plus
essentiel à la mathématique de mon temps. À vrai dire, ces innombrables questions, notions, énoncés dont je viens de parler, ne prennent pour moi un sens qu’à la lumière d’un tel « point de vue » — vu pour mieux dire, ils en naissent spontanément, avec la force de l’évidence ; à la même façon qu’une lumière (même diffuse) qui
surgit dans la nuit noire, semble faire naître du néant ces contours plus ou moins flous ou nets qu’elle nous révèle soudain. Sans cette lumière qui les unit dans un faisceau commun, les dix ou cent ou mille questions, notions, énoncés apparaîtraient comme un monceau hétéroclite et amorphe de « gadgets mentaux », isolés les uns des autres — et non comme les parties d’un Tout qui, pour rester peut-être invisible, se dérobant encore dans les replis de la nuit, n’en est pas moins clairement pressenti.

[...] Et il arrive, parfois, qu’un faisceau de points de vue convergents sur un même et vaste paysage, par la vertu de cela en nous apte à saisir l’Un à travers le multiple, donne corps à une chose nouvelle ; à une chose qui dépasse chacune des perspectives partielles, de la même façon qu’un être vivant dépasse chacun de ses
membres et de ses organes. Cette chose nouvelle, on peut l’appeler une vision. La vision unit les points de vue déjà connus qui l’incarnent, et elle nous en révèle d’autres jusque là ignorés, tout comme le point de vue fécond fait découvrir et appréhender comme partie d’un même Tout, une multiplicité de questions, de notions
et d’énoncés nouveaux.

Récoltes et Semailles, §2.6. Point de vue et vision

Prenons par exemple la tâche de démontrer un théorème qui reste hypothétique (à quoi, pour certains, semblerait se réduire le travail mathématique). Je vois deux approches extrêmes pour s’y prendre. L’une est celle du marteau et du burin, quand le problème posé est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il
s’agit d’atteindre l’intérieur, la chair nourricière protégée par la coque. Le principe est simple : on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits différents, jusqu’à ce que la coque se casse — et on est content. Cette approche est surtout tentante quand la coque présente des aspérités ou protubérances, par où « la prendre ». Dans certains cas, de tels « bouts » par où prendre la noix sautent aux yeux, dans d’autres cas, il faut la retourner attentivement dans tous les sens, la prospecter avec soin, avant de trouver un point d’attaque. Le cas le plus difficile est celui où la coque est d’une rotondité et d’une dureté parfaite et uniforme. On a beau taper fort, le tranchant du burin patine et égratigne à peine la surface — on finit par se lasser à la tâche. Parfois quand même on finit par y arriver, à force de muscle et d’endurance.

Je pourrais illustrer la deuxième approche, en gardant l’image de la noix qu’il s’agit d’ouvrir. La première parabole qui m’est venue à l’esprit tantôt, c’est qu’on plonge la noix dans un liquide émollient, de l’eau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour qu’elle pénètre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. La coque s’assouplit au fil des semaines et des mois - quand le temps est mûr, une pression de la main suffit, la coque s’ouvre comme celle d’un avocat mûr à point ! Ou encore, on laisse mûrir la noix sous le soleil et sous la pluie et peut-être aussi sous les gelées de l’hiver. Quand le temps est mûr c’est une pousse délicate sortie de la substantifique chair qui aura percé la coque, comme en se jouant - ou pour mieux dire, la coque se sera ouverte d’elle-même, pour lui laisser passage.

L’image qui m’était venue il y a quelques semaines était différente encore, la chose inconnue qu’il s’agit de connaître m’apparaissait comme quelque étendue de terre ou de marnes compactes, réticente à se laisser pénétrer. On peut s’y mettre avec des pioches ou des barres à mine ou même des marteaux-piqueurs : c’est la première approche, celle du « burin » (avec ou sans marteau). L’autre est celle de la mer. La mer s’avance insensiblement et sans bruit, rien ne semble se casser rien ne bouge l’eau est si loin on l’entend à peine. . . Pourtant elle finit par entourer la substance rétive, celle-ci peu à peu devient une presqu’île, puis une île, puis un îlot, qui finit par être submergé à son tour, comme s’il s’était finalement dissous dans l’océan s’étendant à perte de vue...

Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec certains de mes travaux n’aura aucune difficulté à reconnaître lequel de ces deux modes d’approche est « le mien ».

Récoltes et Semailles, § 18.2.6.4. La mer qui monte...

La notion d’ « espace » est sans doute une des plus anciennes en mathématique. Elle est si fondamentale dans notre appréhension « géométrique » du monde, qu’elle est restée plus ou moins tacite pendant plus de deux millénaires. C’est au cours du siècle écoulé seulement que cette notion a fini, progressivement, par se détacher de l’emprise tyrannique de la perception immédiate (d’un seul et même « espace » qui nous entoure), et de sa théorisation traditionnelle (« euclidienne »), pour acquérir son autonomie et sa dynamique propres. De nos jours, elle fait partie des quelques notions les plus universellement et les plus couramment utilisées en mathématique, familière sans doute à tout mathématicien sans exception. Notion protéiforme d’ailleurs s’il en fut, aux cents et mille visages, selon le type de structures qu’on incorpore à ces espaces, depuis les plus riches de toutes (telles les vénérables structures « euclidiennes », ou les structures « affines » et « projectives », ou encore
les structures « algébriques » des « variétés » de même nom, qui les généralisent et qui assouplissent) jusqu’aux plus dépouillées : celles où tout élément d’information « quantitatif » quel qu’il soit semble disparu sans retour, et où ne subsistent plus que la quintessence qualitative de la notion de « proximité » ou de celle de « limite » et la version la plus élusive de l’intuition de la forme (dite « topologique »). La plus dépouillée de toutes parmi ces notions, celle qui jusqu’à présent, au cours du demi-siècle écoulé, avait tenu lieu d’une sorte de vaste giron conceptuel commun pour englober toutes les autres, était celle d’espace topologique. L’étude de ces espaces constitue l’une des branches les plus fascinantes, les plus vivaces de la géométrie : la topologie.

Si élusif que puisse paraître de prime abord cette structure « de qualité pure » incarnée par un « espace » (dit, « topologique »), en l’absence de toute donnée de nature quantitative (telle la distance entre deux points, notamment) qui nous permette de nous raccrocher à quelque intuition familière de « grandeur » ou de « petitesse », on
est pourtant arrivé, au cours du siècle écoulé, à cerner finement ces espaces dans les mailles serrées et souples d’un langage soigneusement « taillé sur pièces ». Mieux encore, on a inventé et fabrique de toutes pièces des sortes de « mètres » ou de « toises » pour servir tout de même, envers et contre tout, à attacher des sortes de « mesures » (appelées « invariants topologiques ») à ces « espaces » tentaculaires qui semblaient se dérober, telles des brumes insaisissables, à toute tentative de mensuration. Il est vrai que la plupart de ces invariants, et les plus essentiels, sont de nature plus subtile qu’un simple « nombre » ou une « grandeur » — ce sont plutôt eux-mêmes des structures mathématiques plus ou moins délicates, attachées (à l’aide de constructions plus ou moins sophistiquées) à l’espace envisagé. L’un des plus anciens et des plus cruciaux de ces invariants, introduit déjà
au siècle dernier (par le mathématicien italien Betti), est formé des différents « groupes » (ou « espaces ») dits de « cohomologie », associés à l’espace.

[...] Peu de temps avant, notre conception de ces invariants de cohomologie s’était d’ailleurs vue enrichir et renouveler profondément par les travaux de Jean Leray (poursuivis en captivité en Allemagne, pendant la guerre, dans la première moitié des années quarante). L’idée novatrice essentielle était celle de faisceau (abélien)
sur un espace, auquel Leray associe une suite de « groupes de cohomologie » correspondants (dits « à coefficients dans ce faisceau »). C’était comme si le bon vieux « mètre cohomologique » standard dont on disposait jusqu’à présent pour « arpenter » un espace, s’était soudain vu multiplier en une multitude inimaginablement
grande de nouveaux « mètres » de toutes les tailles, formes et substances imaginables, chacun intimement adapté à l’espace en question, et dont chacun nous livre à son sujet des informations d’une précision parfaite, et qu’il est seul à pouvoir nous donner. C’était là l’idée maîtresse dans une transformation profonde dans
notre approche des espaces en tous genres, et sûrement une des idées les plus cruciales apparues au cours de ce siècle.

Récoltes et Semailles, §2.12. La topologie — ou l’arpentage des brumes

Le point de vue et le langage des faisceaux introduit par Leray nous a amené à regarder les « espaces » et « variétés » en tous genres dans une lumière nouvelle. Ils ne touchaient pas, pourtant, à la notion même d’espace, se contentant de nous faire appréhender plus finement, avec des yeux nouveaux, ces traditionnels « espaces », déjà familiers à tous. Or, il s’est avéré que cette notion d’espace est inadéquate pour rendre compte des « invariants topologiques » les plus essentiels qui expriment la « forme » des variétés algébriques « abstraites » (comme celles auxquelles s’appliquent les conjectures de Weil), voire celle des « schémas » généraux (généralisant les anciennes variétés). Pour les « épousailles » attendues, « du nombre et de la grandeur », c’était comme un lit décidément étriqué, où l’un seulement des futurs conjoints (à savoir, l’épousée) pouvait à la rigueur trouver à se nicher tant bien que mal, mais jamais des deux à la fois ! Le « principe nouveau » qui restait à trouver,
pour consommer les épousailles promises par des fées propices, ce n’était autre aussi que ce « lit » spacieux qui manquait aux futurs époux, sans que personne jusque là s’en soit seulement aperçu. . .

Ce « lit à deux places » est apparu (comme par un coup de baguette magique. . . ) avec l’idée du topos. Cette idée englobe, dans une intuition topologique commune, aussi bien les traditionnels espaces (topologiques), incarnant le monde de la grandeur continue, que les (soi-disant) « espaces » (ou « variétés ») des géomètres
algébristes abstraits impénitents, ainsi que d’innombrables autres types de structures, qui jusque là avaient semblé rivées irrémédiablement au « monde arithmétique » des agrégats « discontinus » ou « discrets ».

Récoltes et Semailles, §2.13 Les topos — ou le lit à deux places

Ce qui me satisfaisait le moins, dans nos livres de maths, c’était l’absence de toute définition sérieuse de la notion de longueur (d’une courbe), d’aire (d’une surface), de volume (d’un solide). Je me suis promis de combler cette lacune, dès que j’en aurais le loisir. J’y ai passé le plus clair de mon énergie entre 1945 et 1948,
alors que j’étais étudiant à l’Université de Montpellier. Les cours à la Fac n’étaient pas faits pour me satisfaire. Sans me l’être jamais dit en clair, je devais avoir l’impression que les profs se bornaient à répéter leurs livres, tout comme mon premier prof de maths au lycée de Mende. Aussi je ne mettais les pieds à la Fac que de loin en loin, pour me tenir au courant du sempiternel « programme ». Les livres y suffisaient bien, au dit programme, mais il était bien clair aussi qu’ils ne répondaient nullement aux questions que je me posais. À vrai dire, ils ne les voyaient même pas, pas plus que mes livres de lycée ne les voyaient. Du moment qu’ils donnaient des recettes de calcul à tout venant, pour des longueurs, des aires et des volumes, à coups d’intégrales simples, doubles, triples (les dimensions supérieures à trois restant prudemment éludées. . . ), la question d’en donner une définition intrinsèque ne semblait pas se poser, pas plus pour mes professeurs que pour les auteurs des manuels.

D’après l’expérience limitée qui était mienne alors, il pouvait bien sembler que j’étais le seul être au monde doué d’une curiosité pour les questions mathématiques. Telle était en tous cas ma conviction inexprimée, pendant ces années passées dans une solitude intellectuelle complète, et qui ne me pesait pas. À vrai dire, je crois que je n’ai jamais songé, pendant ce temps, à approfondir la question si oui ou non j’étais bien la seule personne au monde susceptible de s’intéresser à ce que je faisais. Mon énergie était suffisamment absorbée à tenir la gageure que je m’étais proposé : développer une théorie qui me satisfasse pleinement.

Il n’y avait aucun doute en moi que je ne pourrai manquer d’y arriver, de trouver le fin mot des choses, pour peu seulement que je me donne la peine de les scruter, en mettant noir sur blanc ce qu’elles me disaient, au fur et à mesure. L’intuition du volume, disons, était irrécusable. Elle ne pouvait qu’être le reflet d’une réalité,
élusive pour le moment, mais parfaitement fiable. C’est cette réalité qu’il s’agissait de saisir, tout simplement — un peu, peut-être, comme cette réalité magique de « la rime » avait été saisie, « comprise » un jour.

En m’y mettant, à l’âge de dix-sept ans et frais émoulu du lycée, je croyais que ce serait l’affaire de quelques semaines. Je suis resté dessus pendant trois ans. J’ai trouvé même moyen, à force, de louper un examen, en fin de deuxième année de Fac — celui de trigonométrie sphérique (dans l’option « astronomie approfondie »,
sic), à cause d’une erreur idiote de calcul numérique. (Je n’ai jamais été bien fort en calcul, il faut dire, une fois sorti du lycée. . . ) C’est pour ça que j’ai dû rester encore une troisième année à Montpellier pour y terminer ma licence, au lieu d’aller à Paris tout de suite - le seul endroit, m’assurait-on, où j’aurais l’occasion de rencontrer les gens au courant de ce qui était considéré comme important, en maths. Mon informateur, Monsieur Soula, m’assurait aussi que les derniers problèmes qui s’étaient encore posés en maths avaient été résolus, il y avait vingt ou trente ans, par un dénommé Lebesgue. Il aurait développé justement (drôle de coïncidence, décidément !) une théorie de la mesure et de l’intégration, laquelle mettait un point final à la mathématique.

Monsieur Soula, mon prof de « calcul diff », était un homme bienveillant et bien disposé à mon égard. Je ne crois pas qu’il m’ait convaincu pour autant. Il devait déjà y avoir en moi la prescience que la mathématique est une chose illimitée en étendue et en profondeur. La mer a-t-elle un « point final » ? Toujours est-il qu’à aucun moment je n’ai été effleuré par la pensée d’aller dénicher le livre de ce Lebesgue dont Monsieur Soula m’avait parlé, et qu’il n’a pas dû non plus jamais tenir entre les mains. Dans mon esprit, il n’y avait rien de commun entre ce que pouvait contenir un livre, et le travail que je faisais, à ma façon, pour satisfaire ma curiosité sur
telles choses qui m’avaient intrigué.

Récoltes et Semailles, §2.1. La magie des choses

Traditionnellement, on distingue trois types de « qualités » ou d’ « aspects » des choses de l’ Univers, qui soient objet de la réflexion mathématique : ce sont le nombre, la grandeur, et la forme. On peut aussi les appeler l’aspect « arithmétique », l’aspect « métrique » (ou « analytique »), et l’aspect « géométrique » des choses. Dans la plupart des situations étudiées dans la mathématique, ces trois aspects sont présents simultanément et en interaction étroite. Cependant, le plus souvent, il y a une prédominance bien marquée de l’un des trois. Il me semble que chez la plupart des mathématiciens, il est assez clair (pour ceux qui les connaissent, ou qui sont au courant de leur œuvre) quel est leur tempérament de base, s’ils sont « arithméticiens », « analystes », ou « géomètres » - et ceci, alors même qu’ils auraient beaucoup de cordes à leur violon, et qu’ils auraient travaillé dans tous les registres et diapasons imaginables.

[...] S’il y a une chose en mathématique qui (depuis toujours sans doute) me fascine plus que toute autre, ce n’est ni « le nombre », ni « la grandeur », mais toujours la forme. Et parmi les mille-et-un visages que choisit la forme pour se révéler à nous, celui qui m’a fasciné plus que tout autre et continue à me fasciner,
c’est la structure cachée dans les choses mathématiques.

La structure d’une chose n’est nullement une chose que nous puissions « inventer ». Nous pouvons seulement la mettre à jour patiemment, humblement en faire connaissance, la « découvrir ». S’il y a inventivité dans ce travail, et s’il nous arrive de faire œuvre de forgeron ou d’infatigable bâtisseur, ce n’est nullement pour
« façonner », ou pour « bâtir », des « structures ». Celles-ci ne nous ont nullement attendues pour être, et pour être exactement ce qu’elles sont ! Mais c’est pour exprimer, le plus fidèlement que nous le pouvons, ces choses que nous sommes en train de découvrir et de sonder, et cette structure réticente à se livrer, que nous essayons à tâtons, et par un langage encore balbutiant peut-être, à cerner. Ainsi sommes-nous amenés à constamment « inventer » le langage apte à exprimer de plus en plus finement la structure intime de la chose mathématique, et à « construire » à l’aide de ce langage, au fur et à mesure et de toutes pièces, les « théories » qui sont censées rendre compte de ce qui a été appréhendé et vu. Il y a là un mouvement de va-et-vient continuel, ininterrompu, entre l’appréhension des choses, et l’expression de ce qui est appréhendé, par un langage qui s’affine et se recrée au fil du travail, sous la constante pression du besoin immédiat.

Récoltes et Semailles, §2.9. Forme et structure — ou la voix des choses